Solución al problema de inversión

La primera deducción que podríamos establecer es que la transformación de una recta que pasa por el centro de inversión, en este caso el punto "A", es ella misma, por lo que la transformación de los segmentos "a" y "c" estarán en las rectas que los contienen, "r" y "s".

El radio de la circunferencia de autoinversión, raíz de la potencia, será igual al lado AB, ya que hemos establecido en el enunciado del problema que el centro de inversión era A y B=B'. Al tratarse de un triángulo equilátero la circunferencia de autoinversión pasará también por C, siendo C=C'.
Por otro lado el inverso de A, centro de inversión, estará en el infinito.


Por tanto los inversos de los segmentos a y c serán las semirrectas desde B=B' y C=C' al infinito.

¿Y cuál será el inverso del segmento b? Vamos a ver cómo hacerlo.

El punto P, en el lado b, está en la perpendicular al lado b por el centro de inversión. Para hallar su inverso P' podemos aplicar la propiedad que habíamos visto en la definición de la inversión que dos puntos y sus inversos son concíclicos. El primer par de puntos fácil de obtener será M-M', construyendo la tangente a la circunferencia de autoinversión por B=B'. Curiosamente se observa que P' también se podría obtener por la intersección de dicha tangente con la recta sobre la que están P y P'.

Podríamos hallar los inversos de otros dos puntos del lado b, Q y R. Aplicaremos ahora el método de las rectas antiparalelas, por el que trazando perpendiculares a las rectas AQ y AR, desde P', obtendríamos Q' y R'. Podríamos seguir obteniendo puntos inversos de la recta t, que contiene al lado b, y veríamos que todos ellos se hallan en la circunferencia t'. Y ¿cuál sería el inverso del punto sobre t en el  infinito? Efectivamente el punto A, centro de inversión. Podríamos deducir también que el centro O de esta circunferencia t' se halla en el punto medio del segmento AP', perpendicular a la recta t. 

El inverso del segmento b, sería por tanto el arco de la circunferencia  t' pasante por B=B', P' y C=C'.

Y ya tendríamos la solución. Felicidades sinceras si has podido resolverlo!

Hasta otro día!

Referencias

http://piziadas.com/2012/05/geometria-metrica-inversion-en-el-plano.html

https://plasticavegadeo.files.wordpress.com/2010/08/16-proporcionalidad-inversa-potencia.pdf