Solución al Teorema de Ptolomeo

Muy buenas tardes.

Esta mañana ya hice mi presentación de Ptolomeo en el Máster, así que lo prometido es deuda y ahí va  la demostración de su famoso teorema. No me ha dado tiempo a explicarlo en clase, y es que el personaje es muy interesante y merece una entrada aparte en este blog, que intentaré hacer lo antes posible.

Recordemos como dice el teorema:

" En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales"

AB * CD + AC * BD= AD * BC

Hay muchas demostraciones publicadas, pero me quedo con la del "Modern College Geometry". David R. Davis. Addison-Wesley 1949.

Se utiliza en la demostración un punto auxiliar K,

Y por semejanzas de triángulos se obtienen las siguientes ecuaciones:

AK/ AB= CD/BC. Por lo que AK * BC= AB * CD (1)

DK/ BD= AC= BC. Por lo que DK * BC= AC * BD (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2):  AK * BC + DK * BC = AB * CD + AC * BD;

BC ( AK + DK) = AB * CD + AC * BD:

AD * BC= AB * CD + AC * BD 

Ya lo tenemos demostrado!

Un apunte adicional. Si el cuadrilátero es rectángulo, es decir los lados opuestos son iguales, así como las diagonales, el Teorema de Ptolomeo sería el Teorema de Pitágoras.

¿ Es entonces el Teorema de Pitágoras una particularización del Teorema de Ptolomeo?

Os dejo meditando la respuesta, hasta otro momento!