lunes, 28 de marzo de 2016

Geometría Métrica: Inversión

Buenos días,

Ya sé que estoy pendiente de demostrar el Teorema de Ptolomeo. El retraso se debe a que quería hacerlo primero en clase, me toca presentar a este genial astrónomo y geógrafo, y todavía no lo he hecho.

Pero bueno, hay que seguir trabajando los contenidos de este blog. Hoy os voy a hablar del concepto de  inversión y os pondré un sencillo problema para poder entenderlo.

Definición

La inversión es una transformación homográfica que conserva las relaciones angulares. Se basa en en el concepto de potencia. Es una transformación con centro; un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión.

Dado un centro "I" y un par de puntos inversos "P" y "P'", el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión.


La circunferencia de centro en "I" y radio la raíz de la potencia, valor K, se denomina circunferencia de autoinversión. Para obtenerla a partir del esquema anterior podemos trazar el arco capaz y calcular la potencia.


También se cumple otra propiedad, que dos puntos y sus inversos son concíclicos. Decir también que la circunferencia de autoinversión es doble, es decir su inversa es ella misma, lo  mismo que todos los puntos que la forman.



En los puntos concíclicos las rectas que unen los puntos y sus inversos se llaman antiparalelas, con ángulos idénticos los que forman la recta DD' con DP, y la recta D'P' con la recta PP'.



Esta propiedad la podremos aplicar para hallar el inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, que será una recta que no pasa por dicho centro, y viceversa, el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión será una circunferencia que pasa por el centro de inversión y cuyo centro estará en la perpendicular desde el centro de inversión a la recta.




Referencias

http://piziadas.com/2012/05/geometria-metrica-inversion-en-el-plano.html


Ahora os lanzo este problema:

¿Cuál sería la figura inversa de este triángulo (equilátero), siendo A el centro de inversión, y sabiendo que el inverso de B, B'=B?

Pincha aquí para ver la solución


2 comentarios:

  1. Una precisión... Cuando dices "la circunferencia de autoinversión es doble, es decir su inversa es ella misma, lo mismo que todos los puntos que la forman" te refieres a la inversión de potencia positiva ya que si es negativa aunque la circunferencia es doble sus puntos no lo son. Está muy bien el artículo.

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    1. Tienes razón José Juan. Muchas gracias por el comentario.

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