Sean 4 puntos concíclicos: Ptolomeo, potencia e inversión

Buenos días,

Aquí estoy, todavía con la inversión  y relacionándola con la potencia y con Ptolomeo... madre mía lo que estoy aprendiendo... y me apetecía compartirlo con los seguidores, lectores de este blog.

Sean 4 puntos concíclicos, es decir, que pertenecen a la misma circunferencia. La primera propiedad que podríamos establecer es el Teorema de Ptolomeo, visto el último día,

"En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales"

                                                 AB * CD + AC * BD= AD * BC

Pues bien, estos 4 puntos concíclicos también se relacionan con potencia y con inversión.

PA * PB = PC* PD = K = cte = Razón de potencia

La razón de un punto respecto a una circunferencia es constante. Vamos a demostrarlo. 

Vemos que los triángulos PBC y PAD son semejantes. Aplicando el Teorema de Tales:

PB / PD = PC / PA. Por tanto PB * PA = PD * PC. Es decir. PA * PB = PC * PD = K

K es la razón de la potencia. En los puntos T1 y T2, puntos de tangencia desde el punto P a la circunferencia, se cumple que PT1= PT2 = √K

PA * PB  =  PC * PD = PT1 * PT1 = PT2 * PT2 = √K²

La tangente √K es por tanto media proporcional de PA y PB; y de PC y PD. Se hallaría gráficamente por el Teorema del Cateto en un triángulo rectángulo: " En un triángulo rectángulo un cateto (PF) es media proporcional entre la hipotenusa (PA) y su proyección sobre ella (PB)" 

P, es también centro de inversión (positiva) y A es el punto invertido de B y C es el punto invertido de D, manteniendo como razón de inversión la potencia.

PA = PB' y PC= PD' Kinversión= cte= PB * PB' = PD * PD'= PB * PA = PD * PC= Potencia.

Habíamos visto en la inversión que efectivamente un par de puntos y sus invertidos son concíclicos.

Y que las rectas que los unen son antiparalelas, con ángulos idénticos que forman la recta BA con AC y DC con BD.

La circunferencia de centro P y radio √K sería la circunferencia de autoinversión, de puntos dobles, es decir sus puntos se invertirían en ellos mismos, y la circunferencia que contiene a nuestros puntos A, B, C y D se invertiría en ella misma, siendo A el punto invertido de B, y al contario, y C el invertido de D, y también al contrario.

Pues esto es todo por hoy, muy importante tener los conceptos claros para seguir avanzando.
Buen fin de semana!

Solución al Teorema de Ptolomeo

Muy buenas tardes.

Esta mañana ya hice mi presentación de Ptolomeo en el Máster, así que lo prometido es deuda y ahí va  la demostración de su famoso teorema. No me ha dado tiempo a explicarlo en clase, y es que el personaje es muy interesante y merece una entrada aparte en este blog, que intentaré hacer lo antes posible.

Recordemos como dice el teorema:

" En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales"

AB * CD + AC * BD= AD * BC

Hay muchas demostraciones publicadas, pero me quedo con la del "Modern College Geometry". David R. Davis. Addison-Wesley 1949.

Se utiliza en la demostración un punto auxiliar K,

Y por semejanzas de triángulos se obtienen las siguientes ecuaciones:

AK/ AB= CD/BC. Por lo que AK * BC= AB * CD (1)

DK/ BD= AC= BC. Por lo que DK * BC= AC * BD (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2):  AK * BC + DK * BC = AB * CD + AC * BD;

BC ( AK + DK) = AB * CD + AC * BD:

AD * BC= AB * CD + AC * BD 

Ya lo tenemos demostrado!

Un apunte adicional. Si el cuadrilátero es rectángulo, es decir los lados opuestos son iguales, así como las diagonales, el Teorema de Ptolomeo sería el Teorema de Pitágoras.

¿ Es entonces el Teorema de Pitágoras una particularización del Teorema de Ptolomeo?

Os dejo meditando la respuesta, hasta otro momento!