Sean 4 puntos concíclicos: Ptolomeo, potencia e inversión

Buenos días,

Aquí estoy, todavía con la inversión  y relacionándola con la potencia y con Ptolomeo... madre mía lo que estoy aprendiendo... y me apetecía compartirlo con los seguidores, lectores de este blog.

Sean 4 puntos concíclicos, es decir, que pertenecen a la misma circunferencia. La primera propiedad que podríamos establecer es el Teorema de Ptolomeo, visto el último día,

"En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales"

                                                 AB * CD + AC * BD= AD * BC

Pues bien, estos 4 puntos concíclicos también se relacionan con potencia y con inversión.

PA * PB = PC* PD = K = cte = Razón de potencia

La razón de un punto respecto a una circunferencia es constante. Vamos a demostrarlo. 

Vemos que los triángulos PBC y PAD son semejantes. Aplicando el Teorema de Tales:

PB / PD = PC / PA. Por tanto PB * PA = PD * PC. Es decir. PA * PB = PC * PD = K

K es la razón de la potencia. En los puntos T1 y T2, puntos de tangencia desde el punto P a la circunferencia, se cumple que PT1= PT2 = √K

PA * PB  =  PC * PD = PT1 * PT1 = PT2 * PT2 = √K²

La tangente √K es por tanto media proporcional de PA y PB; y de PC y PD. Se hallaría gráficamente por el Teorema del Cateto en un triángulo rectángulo: " En un triángulo rectángulo un cateto (PF) es media proporcional entre la hipotenusa (PA) y su proyección sobre ella (PB)" 

P, es también centro de inversión (positiva) y A es el punto invertido de B y C es el punto invertido de D, manteniendo como razón de inversión la potencia.

PA = PB' y PC= PD' Kinversión= cte= PB * PB' = PD * PD'= PB * PA = PD * PC= Potencia.

Habíamos visto en la inversión que efectivamente un par de puntos y sus invertidos son concíclicos.

Y que las rectas que los unen son antiparalelas, con ángulos idénticos que forman la recta BA con AC y DC con BD.

La circunferencia de centro P y radio √K sería la circunferencia de autoinversión, de puntos dobles, es decir sus puntos se invertirían en ellos mismos, y la circunferencia que contiene a nuestros puntos A, B, C y D se invertiría en ella misma, siendo A el punto invertido de B, y al contario, y C el invertido de D, y también al contrario.

Pues esto es todo por hoy, muy importante tener los conceptos claros para seguir avanzando.
Buen fin de semana!

Solución al problema de inversión

La primera deducción que podríamos establecer es que la transformación de una recta que pasa por el centro de inversión, en este caso el punto "A", es ella misma, por lo que la transformación de los segmentos "a" y "c" estarán en las rectas que los contienen, "r" y "s".

El radio de la circunferencia de autoinversión, raíz de la potencia, será igual al lado AB, ya que hemos establecido en el enunciado del problema que el centro de inversión era A y B=B'. Al tratarse de un triángulo equilátero la circunferencia de autoinversión pasará también por C, siendo C=C'.
Por otro lado el inverso de A, centro de inversión, estará en el infinito.


Por tanto los inversos de los segmentos a y c serán las semirrectas desde B=B' y C=C' al infinito.

¿Y cuál será el inverso del segmento b? Vamos a ver cómo hacerlo.

El punto P, en el lado b, está en la perpendicular al lado b por el centro de inversión. Para hallar su inverso P' podemos aplicar la propiedad que habíamos visto en la definición de la inversión que dos puntos y sus inversos son concíclicos. El primer par de puntos fácil de obtener será M-M', construyendo la tangente a la circunferencia de autoinversión por B=B'. Curiosamente se observa que P' también se podría obtener por la intersección de dicha tangente con la recta sobre la que están P y P'.

Podríamos hallar los inversos de otros dos puntos del lado b, Q y R. Aplicaremos ahora el método de las rectas antiparalelas, por el que trazando perpendiculares a las rectas AQ y AR, desde P', obtendríamos Q' y R'. Podríamos seguir obteniendo puntos inversos de la recta t, que contiene al lado b, y veríamos que todos ellos se hallan en la circunferencia t'. Y ¿cuál sería el inverso del punto sobre t en el  infinito? Efectivamente el punto A, centro de inversión. Podríamos deducir también que el centro O de esta circunferencia t' se halla en el punto medio del segmento AP', perpendicular a la recta t. 

El inverso del segmento b, sería por tanto el arco de la circunferencia  t' pasante por B=B', P' y C=C'.

Y ya tendríamos la solución. Felicidades sinceras si has podido resolverlo!

Hasta otro día!

Referencias

http://piziadas.com/2012/05/geometria-metrica-inversion-en-el-plano.html

https://plasticavegadeo.files.wordpress.com/2010/08/16-proporcionalidad-inversa-potencia.pdf

Geometría Métrica: Inversión

Buenos días,

Ya sé que estoy pendiente de demostrar el Teorema de Ptolomeo. El retraso se debe a que quería hacerlo primero en clase, me toca presentar a este genial astrónomo y geógrafo, y todavía no lo he hecho.

Pero bueno, hay que seguir trabajando los contenidos de este blog. Hoy os voy a hablar del concepto de  inversión y os pondré un sencillo problema para poder entenderlo.

Definición

La inversión es una transformación homográfica que conserva las relaciones angulares. Se basa en en el concepto de potencia. Es una transformación con centro; un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión.

Dado un centro "I" y un par de puntos inversos "P" y "P'", el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión.

La circunferencia de centro en "I" y radio la raíz de la potencia, valor K, se denomina circunferencia de autoinversión. Para obtenerla a partir del esquema anterior podemos trazar el arco capaz y calcular la potencia.

También se cumple otra propiedad, que dos puntos y sus inversos son concíclicos. Decir también que la circunferencia de autoinversión es doble, es decir su inversa es ella misma, lo  mismo que todos los puntos que la forman.

En los puntos concíclicos las rectas que unen los puntos y sus inversos se llaman antiparalelas, con ángulos idénticos los que forman la recta DD' con DP, y la recta D'P' con la recta PP'.

Esta propiedad la podremos aplicar para hallar el inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, que será una recta que no pasa por dicho centro, y viceversa, el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión será una circunferencia que pasa por el centro de inversión y cuyo centro estará en la perpendicular desde el centro de inversión a la recta.

Referencias

http://piziadas.com/2012/05/geometria-metrica-inversion-en-el-plano.html

Ahora os lanzo este problema:

¿Cuál sería la figura inversa de este triángulo (equilátero), siendo A el centro de inversión, y sabiendo que el inverso de B, B'=B?

Pincha aquí para ver la solución